Discussion:Formule de Faulhaber

Suggestion de démonstration

Ayant voulu comprendre quelle idée de départ pouvait conduire à établir les formules de Faulhaber ,j'ai trouvé la façon qui montre comment on peut poursuivre le calcul en incrémentant p.On note la somme $\sum _{i=1}^{n}i^{p}$ par $\sigma _{p,n}$. On part de la formule triviale $\sum _{i=1}^{n}i$ soit ${\frac {n(n+1)}{2}}$ d'où on peut déduire $\sigma _{2,n}$. On part du développement du binome :

• $(-n+2i)^{2}=n^{2}-4ni+4i^{2}$ (A)

ainsi que de l'autre binome :

• $(-(n+1)+2i)^{2}=(n+1)^{2}-4(n+1)i+4i^{2}$ (B)
• On somme (A)+(B) pour $0<=i<=n$.

On remarque alors qu'on obtient à gauche $(n+1)^{2}+2\sigma _{2,n}$ et à droite $(n+1)[n^{2}+(n+1)^{2}]-4(2n+1)\sigma _{1,n}+8\sigma _{2,n}$

• donc une relation de récurrence entre $\sigma _{1,n}$ et $\sigma _{2,n}$.

Il vient

• $6\sigma _{2,n}=(n+1)[-n(n+1)-n^{2}]+2(2n+1)n(n+1)=(n+1)n(-2n-1)+2(2n+1)n(n+1)$ d'où

• $\sigma _{2,n}={\frac {(n+1)n(2n+1)}{6}}$

L'intérêt est qu'on peut l'appliquer pour calculer $\sigma _{p,n}$ en supposant connues $\sigma _{1,n}$,...,$\sigma _{p-1,n}$ car on obtient une relation de récurrence entre les p-1 premières sommes et la p-ième.Par exemple pour calculer $\sigma _{3,n}$

• $(-n+2i)^{3}=-n^{3}+6n^{2}i-12ni^{2}+8i^{3}$ (A)

ainsi que de l'autre binome :

• $(-(n+1)+2i)^{3}=-(n+1)^{3}+6(n+1)^{2}i-12(n+1)i^{2}+8i^{3}$ (B)
• On somme (A)+(B) pour $0<=i<=n$.

On remarque alors qu'on obtient à gauche $-(n+1)^{3}$ et à droite $(n+1)[-n^{3}-(n+1)^{3}]+6[n^{2}+(n+1)^{2}]\sigma _{1,n}-12(2n+1)\sigma _{2,n}+16\sigma _{3,n}$

• donc une relation de récurrence entre $\sigma _{1,n}$,$\sigma _{2,n}$ et $\sigma _{3,n}$.

Il vient

• $16\sigma _{3,n}=(n+1)([n(n+1)^{2}+n^{3}]-3[n^{2}+(n+1)^{2}]n+2(2n+1)^{2}n)$ d'où
• $16\sigma _{3,n}=n(n+1)([2n^{2}+2n+1]-3[n^{2}+(n+1)^{2}]+2(2n+1)^{2})$
• $16\sigma _{3,n}=n(n+1)(4n^{2}+4n)$
• $\sigma _{3,n}={\frac {(n+1)^{2}n^{2}}{4}}$

La même formule est utilisable à l'ordre p où on développe le binome

• $(-n+2i)^{p}=(-1)^{p}n^{p}+C_{p}^{p-1}(-1)^{p-1}n^{p-1}2i+..-C_{p}^{1}n2^{p-1}i^{p-1}+2^{p}i^{p}$ (A)

ainsi que de l'autre binome :

• $(-(n+1)+2i)^{p}=(-1)^{p}(n+1)^{p}+C_{p}^{p-1}(-1)^{p-1}(n+1)^{p-1}2i+..-C_{p}^{1}(n+1)2^{p-1}i^{p-1}+2^{p}i^{p}$ (B)
• On somme (A)+(B) pour $0<=i<=n$.

On remarque alors qu'on obtient à gauche $(-1)^{p}(n+1)^{p}$($+2\sigma _{p,n}$ si p est pair) et à droite

• $(-1)^{p}(n+1)(n^{p}+(n+1)^{p})+C_{p}^{p-1}(-1)^{p-1}(n^{p-1}+(n+1)^{p-1})2{\sigma _{1,n}}+..$
• $..+C_{p}^{2}(n^{2}+(n+1)^{2})2^{p-2}{\sigma _{{p-2},n}}-C_{p}^{1}(n+n+1)2^{p-1}{\sigma _{{p-1},n}}+2^{p}{\sigma _{p,n}}$

La formule obtenue donne une relation de récurrence entre $\sigma _{1,n},$$\sigma _{2,n},$...,$\sigma _{p-1,n},$$\sigma _{p,n},$ permettant le calcul de $\sigma _{p,n}$.

On dispose cependant d'une relation plus simple,où ne se trouvent que les sommes "d'ordre pair" par rapport à $\sigma _{p,n}$. En effet pour un entier k considérons la différence :

${\frac {1}{2}}((k+{\frac {1}{2}})^{p+1}-(k-{\frac {1}{2}})^{p+1})$

Le développement de cette différence donne:

${\frac {1}{2}}(_{1}^{p+1})k^{p}+{\frac {1}{2^{3}}}(_{3}^{p+1})k^{p-2}+{\frac {1}{2^{5}}}(_{5}^{p+1})k^{p-4}+..+{\frac {1}{2^{p+1}}}(_{p+1}^{p+1})k^{0}$ si on suppose p pair (si p est impair la somme termine par ${\frac {1}{2^{p}}}(_{p}^{p+1})k^{1}$).:

Si on somme de k= 1 à n on obtient:

${\frac {1}{2}}((n+{\frac {1}{2}})^{p+1}-({\frac {1}{2}})^{p+1})={\frac {1}{2}}(_{1}^{p+1})\sigma _{p}+{\frac {1}{2^{3}}}(_{3}^{p+1})\sigma _{p-2}+{\frac {1}{2^{5}}}(_{5}^{p+1})\sigma _{p-4}+..+{\frac {1}{2^{p+1}}}(_{p+1}^{p+1})\sigma _{0}$ (si p est impair le dernier terme est ${\frac {1}{2^{p}}}(_{p}^{p+1})\sigma _{1}$) (A2):

Cette dernière égalité montre(par récurrence) que p est un polynome dont les termes de degré p-2,p-4,..,2(1 si p est impair),0 sont nuls.

Cependant si on se propose pour but de démontrer la formule de Bernoulli,on est handicapé par la présence des coefficients ${\frac {1}{2^{3}}},{\frac {1}{2^{5}}},..,{\frac {1}{2^{p}}}$,il faut alors rechercher une autre formule.Il semble que la formule suivante convienne:

$k^{p+1}-(k-1)^{p+1}=(_{p}^{p+1})k^{p}-(_{p-1}^{p+1})k^{p-1}+..+(-1)^{p}(_{0}^{p+1})k^{0}$

Si on somme de k=1 à n on obtient (A):

$n^{p+1}=(_{p}^{p+1})\sigma _{p}-(_{p-1}^{p+1})\sigma _{p-1}+..+(-1)^{p}(_{0}^{p+1})\sigma _{0}$

(A) implique que $\sigma _{p}$ est un polynome en n de degré p+1,divisible par n,car $\sigma _{0}=n$,donc cette divisibilité est vraie par récurrence.

Démontrer la formule de Bernoulli par récurrence peut alors se formuler de la façon suivante: $\sigma _{p}$ étant un polynome en n de degré exactement égal à p+1,si on l'écrit sous la forme : $\sigma _{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{i=0}^{p}(_{i}^{p+1})\alpha _{p,i}n^{p+1-i}={\frac {1}{p+1}}\sum _{i=1}^{p+1}(_{i}^{p+1})\alpha _{p,p+1-i}n^{i}$,alors démontrer que pour 1<=i<=p+1:

$\alpha _{p,p+1-i}=B_{p+1-i}$ (coefficient de Bernoulli) où les $B_{n}$ sont la suite définie par :

$B_{0}=1$,$B_{1}={\frac {1}{2}}$ et $1={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}$ pour tout n>0.

On suppose la proposition vraie pour toutes les sommes $\sigma _{0},..,\sigma _{p-1}$. On recherche les termes en $n^{i}$ pour i<=p+1.On a déja d'après l'équation (A) pour i=p+1 $1=\alpha _{p,0}=B_{0}$. Si on cherche dans (A)les termes en $n^{i}$ pour 1<=i<=p,on voit que

$0={p+1 \choose p}{\frac {1}{p+1}}{p+1 \choose i}\alpha _{p,p+1-i}+\sum _{p-1>=k>=i-1}{p+1 \choose k}(-1)^{p-k}{\frac {1}{k+1}}{k+1 \choose i}B_{k+1-i}$ (seules les $\sigma _{k}$ telles que k>=i-1 contiennent un terme en $n^{i}$). En remplaçant $k$ par $k'=k-i+1$,puis en renommant $k'=k$ :

$0={p+1 \choose p}{\frac {1}{p+1}}{p+1 \choose i}\alpha _{p,p+1-i}+\sum _{p-i>=k>=0}{p+1 \choose k+i-1}(-1)^{p+1-i-k}{\frac {1}{k+i}}{k+i \choose i}B_{k}$

On évalue alors le produit

${(_{k+i-1}^{p+1})}{(_{i}^{k+i})}={\frac {(p+1)!}{(k+i-1)!(p+2-k-i)!}}{\frac {(k+i)!}{i!k!}}={\frac {k+i}{i!}}(_{k}^{p+2-i})(p+3-i)..(p+1)$

On sort de la somme les termes ne dépendant pas de k

$0={p+1 \choose i}\alpha _{p,p+1-i}+{\frac {(p+3-i)..(p+1)}{i!}}(-1)^{p+1-i}\sum _{p-i>=k>=0}(-1)^{-k}{p+2-i \choose k}B_{k}$

Comme les termes $B_{2i+1}$ sont nuls sauf $B_{1}$,on peut remplacer pour ces termes $(-1)^{k}$ par $(1)^{k}=1$,si bien que $(-1)^{-k}$ disparait,donc on a

$0={p+1 \choose i}\alpha _{p,p+1-i}+{\frac {(p+3-i)..(p+1)}{i!}}(-1)^{p+1-i}((p+2-i)-(p+2-i)B_{p+1-i}-(p+2-i)(2B_{1}))$

$0={p+1 \choose i}\alpha _{p,p+1-i}+{p+1 \choose i}(-1)^{p+1-i}(1-B_{p+1-i}-(2B_{1}))$

soit

$\alpha _{p,p+1-i}+(-1)^{p-i}(B_{p+1-i})=0$

si p-i est pair,ce qui signifie que i=p-2,p-4,...on a vu d'après (A2) que le coefficient de degré i,c'set-à-dire $\alpha _{p,p+1-i}$ est nul sauf $\alpha _{p,1}$.D'autre part on a $B_{p+1-i}=-\alpha _{p,p+1-i}=0$ donc aussi bien $B_{p+1-i}=\alpha _{p,p+1-i}$ .

si p-i est impair,on a $\alpha _{p,p+1-i}-B_{p+1-i}=0$

Problème de paternité

‎Guerinsylvie (d · c · b) est venue sur ma page de discussion m'expliquer que les formules sont indument attribuées à Faulhaber [1]. Elle renvoie sur sa page de discussion où elle donne quelques sources[2] - Merci à elle! Je mets donc au moins le lien vers un article très intéressant sur l'histoire de ces calculs sur les sommes de puissances d'entiers : Sums of Powers of Positive Integers écrit par Janet Beery et paru dans le périodique Convergence (juillet 2010) de Mathematic Association of America. Je pense que cet article pourrait enrichir très sérieusement notre page Wikipedia. HB (discuter) 29 juillet 2015 à 20:00 (CEST)

A propos d'une erreur mineure...

Bonjour,

j'avais fait une modification mineure: au début de l'article, il y a marqué n dans N alors que j'avais mis n dans N*. Je ne comprends pas pourquoi ma modification est contestée par Anne Bauval (un "non" sans justification supplémentaire). C'est pourtant évident: il y a marqué 1 <= k <= n au début de la somme, on ne va pas me faire croire que 1 est inférieur à 0... Donc n est dans N* et non N. Je laisse l'erreur pour l'instant. Idem pour la partie "énoncé de la formule".

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Orodoth (discuter), le 13/10/15 à 19:05.

Peut-être une confusion, ça m'étonne de Anne. En tout cas, vous avez raison ; je corrige.--Dfeldmann (discuter) 13 octobre 2015 à 19:57 (CEST)

Pas d'accord. Voir note 1 de l'article. Anne, 21h11

Bon, écoutez, je ne vais pas m'attarder sur de telles trivialités. Si vous voulez qu'il y ait une ou deux erreur(s) mineure(s) dans l'article, libre à vous. Ce n'est pas très grave même si je préfère qu'il n'y ait pas d'erreur dans les articles, aussi mineure soi(en)t elle(s). C'est simplement la notation qui me gêne. Si cela ne vous choque pas d'écrire une somme avec la borne supérieure plus petite que la borne inférieure (une somme de 1 à 0 dans ce cas là), ce n'est pas grave.

Orodoth. 14/10/15, 18h21

Bon, comme d'habitude, dans des cas de ce genre, tout le monde a raison : la convention standard est en effet que somme (1<=k<=0) f(k)=0 (somme vide), mais d'un autre côté, c'est pédagogiquement un peu délicat à faire passer, et je ne suis pas sûr que ça apporte beaucoup de généralité aux formules... Bref, on peut laisser comme ça vu la note, mais aucune version ne mérite vraiment qu'on se batte pour elle--Dfeldmann (discuter) 14 octobre 2015 à 19:43 (CEST)

Peu m'importe qu'Orodoth persiste dans son erreur. La note 1 non seulement explique cette version (standard bien qu'allergène), mais l'intérêt de ne pas l'escamoter. Anne 20h58

Nouveau paragraphe sur les sommes multiples de puissances

Je m'interroge sur les appellations peu claires à mon avis 1) Sommes multiples de puissances et 2) Sommes récurrentes de puissances

Je pencherais pour 1) sommes de produits de puissances en ordre strictement croissant, 2) sommes de produits de puissances en ordre croissant .... Robert FERREOL (discuter) 23 mai 2022 à 21:43 (CEST)

Tout le paragraphe "Généralisations de la formule de Faulhaber", ajouté le 20 mai par Kaizen Grey (bloqué sur en:Wikipedia ainsi que ses faux-nez GeneralizedMaths et BinomialCoefficient) et arrangé les jours suivants par Robert FERREOL, est de l'autopromotion de Roudy El Haddad. 78.122.204.162 (discuter) 14 juin 2022 à 21:00 (CEST)

Bonjour Robert FERREOL et Theon, ce récent paragraphe est donc plutôt à supprimer qu'à fignoler, non ? Cordialement, Anne 26 /6 à 14 h 38

P.S. à 14 h 44 : comme cela a été fait dans Coefficient binomial et dans Fonction zêta multiple.

D'une manière générale, j'ai trouvé la présentation de l'ensemble de l'article peu lisible. J'ai commencé à améliorer sa lisibilité en isolant les démonstrations. De fait, le paragraphe "Généralisations de la formule de Faulhaber" ne contribue guère à une présentation accueillante de l'article (et je n'ai d'ailleurs pas encore entrepris sa lecture). Le fait que ce soit de l'autopromotion ne plaide guère en sa faveur. Cependant, si vous jugez qu'elle présente un intérêt mathématique relevant de Wikipedia, on peut garder les liens vers les articles publiés mis en référence, en les disposant dans la partie Liens externes. Theon (discuter) 27 juin 2022 à 09:57 (CEST)

Ce paragraphe m'a personnellement bien intéressé, je faisais calculer des cas particuliers à mes élèves, donc je suis pour le garder. C'est aussi grâce à lui que j'ai découvert le lien avec les nombres de Stirling.

Ce qui me dérange plus, c'est le titre. Quand on cherche "sommes de puissances " dans google, la page "formule de faulhaber" vient au moins à la cinquantième place, donc ne sera évidemment pas visitée. D'ailleurs il n'y a qu'une moyenne de 11 visites quotidiennes pour une page de cette importance. J'ai bien vécu 50 ans sans savoir que ces formules s'appelaient formules de Faulhaber...

Je propose "sommes de puissances d'entiers consécutifs". Robert FERREOL (discuter) 28 juin 2022 à 14:02 (CEST)

Même avis sur le changement de titre (et même vécu que toi). Un détail, Wikipedia privilégie le singulier dans les titres, donc plutôt "somme de puissances d'entiers consécutifs" Theon (discuter) 29 juin 2022 à 11:21 (CEST)

Ou "somme des puissances des premiers entiers" ? Robert FERREOL (discuter) 29 juin 2022 à 12:16 (CEST)